Miary dyspersji

Wśród klasycznych miar dyspersji wyróżnia się: wariancję, odchylenie standardowe, odchylenie przeciętne, klasyczny współczynnik zmienności. Klasyczne miary dyspersji pozwalają ocenić zmienność wyników względem średniej arytmetycznej.

Pozycyjne miary zmienności to: rozstęp, odchylenie ćwiartkowe, pozycyjny współczynnik zmienności.

Klasyczne miary dyspersji

Wariancja – jest średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń wartości zmiennej od jej średniej arytmetycznej.  Na podstawie samej wariancji trudno ocenić stopień dyspersji, gdyż jest miarą absolutną i rząd wielkości cechy decyduje o wielkości wariancji. Wielkość wariancji może oznaczać wielkość wartości cechy, a nie zróżnicowanie. Wariancja z próby dana jest wzorem:




 

 

 

Wariancję z populacji oblicza się ze wzoru, w którym od liczebności w mianowniku nie odejmuje się jednej wartości: 

W badaniach społecznych zazwyczaj mamy do czynienia ze statystykami z próby, badanie całej populacji zdarza się rzadko. Przykładem badania pełnego może być Narodowy Spis Powszechny. 

Własności wariancji:

  1. Jest wartością nieujemną
  2. Gdy wszystkie wartości są identyczne (brak dyspersji) wariancja przyjmuje wartość zero.
  3. Jest drugim momentem centralnym 
  4. Równość wariancyjna, co oznacza że wariancja zbiorowości podzielonej na grupy jest sumą wariancji średnich grupowych oraz średniej wariancji w grupach




Odchylenie standardowe – przeciętne odchylenie wartości cechy od średniej arytmetycznej, określa o ile wartość danej cechy statystycznej odchyla się od średniej arytmetycznej.  Odchylenie standardowe z próby obliczamy jako pierwiastek z wariancji, czyli według wzoru:

 

Typowy obszar zmienności (dyspersji)  – przedział wartości cechy, które przyjmuje większość zbiorowości, czyli w zakresie jednego odchylenia standardowego od średniej. Typowy obszar zmienności dany jest wzorem: 

Odchylenie przeciętne – jest to średnia arytmetyczna modułów (wartości bezwzględnych) odchyleń wartości cechy od średniej arytmetycznej. Obliczając odchylenie przeciętne zamiast podnoszenia do kwadratu (w celu pozbycia się wartości ujemnych) stosuje się wartość bezwzględną. W praktyce odchylenie przeciętne jest rzadko wykorzystywane. Odchylenie przeciętne z próby dane jest wzorem:

Klasyczny współczynnik zmienności (dyspersji) – jest ilorazem odchylenia standardowego i średniej arytmetycznej, przyjmuje wartości z zakresu (0-1), chyba że średnia arytmetyczna będzie większa, niż odchylenie standardowe mówimy wtedy o ekstremalnie dużej zmienności. Klasyczny współczynnik zmienności dany jest wzorem:

Wyniki interpretujemy według następujących progów:

  • do 30% – mała dyspersja
  • 31- 60% umiarkowana dyspersja
  • powyżej 60% – znaczna dyspersja

Klasyczny współczynnik dyspersji pozwala również na porównanie zmienności między różnymi zbiorowościami, czego nie można robić na podstawie odchylenia standardowego, ponieważ zależy ono od średniej – która jest różna w różnych grupach.

 

Pozycyjne miary dyspersji  

Rozstęp – jest różnicą między wartością minimalną i maksymalną, rozstęp określa całkowitą zmienność cechy statystycznej, czyli empiryczny obszar dyspersji cechy statystycznej

Rozstęp międzykwartylowy (rozstęp ćwiartkowy) – jest to różnica między pierwszym a trzecim kwartylem, określa obszar zmienności 50% centralnie położonych (środkowych) jednostek danej cechy statystycznej. Rozstęp międzykwartylowy dany jest wzorem.

Odchylenie ćwiartkowe - określa odchylenie wartości zmiennej od mediany, jest połową rozpiętości między pierwszym i trzecim kwartylem, odchylenie ćwiartkowe ocenia zróżnicowanie wartości dla 50% jednostek środkowych

Pozycyjny współczynnik zmienności – iloraz odchylenia ćwiartkowego i mediany, pokazuje jaką część mediany stanowi przeciętne odchylenie od mediany. Ocena zmienności dotyczy 50% środkowych jednostek. Interpretacja pozycyjnego współczynnika zmienności jest  analogiczna jak klasycznego współczynnika zmienności. Pozycyjny współczynnik zmienności dany jest wzorem.  

Wyniki interpretujemy według następujących progów:

  • do 30% – mała dyspersja
  • 31- 60% umiarkowana dyspersja
  • powyżej 60% – znaczna dyspersja

Klasyczny współczynnik zmienności może przyjąć wartość większą od 100%, gdy odchylenie standardowe jest większe od średniej – ekstremalna dyspersja, podczas gdy pozycyjny współczynnik zmienności zawsze będzie zawierał się w przedziale 0-1, gdyż odchylenie ćwiartkowe nie przyjmie wartości większej, niż mediana.